Na disciplina de Análise Matemática, procuramos compreender os fundamentos que sustentam os principais conceitos do Cálculo, como continuidade, derivadas, integrais e limites. Para isso, investigamos com mais profundidade o comportamento das sequências e das funções reais.
Um dos pilares da análise real é o estudo do comportamento de sequências numéricas, que, muitas vezes, estão por trás das definições mais sofisticadas do Cálculo. Entender quando uma sequência converge, quando é limitada, e que propriedades ela carrega, é essencial para formalizar ideias que, no ensino médio, costumam ser tratadas apenas de forma intuitiva.
Dentre os teoremas clássicos que tratam das propriedades de sequências reais, destaca-se o Teorema de Bolzano-Weierstrass. Esse teorema revela uma estrutura fundamental dos reais: a compacidade dos intervalos fechados e limitados, conceito que será muito útil quando estudarmos continuidade e integrais.
Além de ser central na Análise, esse teorema traz implicações importantes para a prática pedagógica. Como futuros professores, vocês terão a responsabilidade de transmitir esses conceitos de maneira clara e significativa, mostrando aos alunos como a matemática é construída de forma lógica e rigorosa.
Agora, responda as duas perguntas apresentadas, com a maior quantidade de detalhes possíveis, lembrando da formalidade exigida nessa disciplina.
1) Defina formalmente os seguintes conceitos:
a) Sequência de números reais.
b) Sequência limitada.
c) Convergência de uma sequência.
d) Subsequência.
2) Enuncie e demonstre o Teorema de Bolzano-Weierstrass para o conjunto dos números reais.
3) Dê um exemplo de uma sequência limitada que não seja convergente, mas que possui uma subsequência convergente. Explique.
ORIENTAÇÕES PARA O MAPA
1º Passo: Pesquise as definições formais e a demonstração do Teorema de Bolzano-Weierstrass em livros de Análise Matemática.
2º Passo: Organize sua atividade em tópicos numerados, respeitando a sequência solicitada.
3º Passo: Utilize a ferramenta EQUATION (EQUAÇÃO) do Word (localizada na aba 'Inserir') para digitar fórmulas e símbolos matemáticos.
4º Passo: Faça uma revisão ortográfica e verifique a clareza e a correção dos conceitos apresentados.
5º Passo: Utilize o template disponibilizado no Material da Disciplina para digitar seu MAPA.
6º Passo: Após finalizar o arquivo, anexe-o na Atividade no STUDEO e clique em 'Finalizar Questionário'. Modificações não serão possíveis após essa etapa.
