Em análise matemática, uma sequência é uma lista ordenada de números, e dizemos que uma sequência é convergente quando seus termos se aproximam de um valor específico conforme avançamos para termos subsequentes. As propriedades das sequências convergentes incluem certas características importantes que as distinguem de outras sequências.
Fonte: Elaborado pelo professor, 2024.
Com base nessas considerações, avalie as afirmativas a seguir.
I. Uma sequência (an) é convergente se os termos an forem sempre positivos.
II. Se uma sequência é convergente, então ela é também monótona.
III. A definição de sequência convergente implica que a sequência é limitada.
É correto o que se afirma em:
Alternativas
Alternativa 1:
I, apenas.
Alternativa 2:
III, apenas.
Alternativa 3:
I e II, apenas.
Alternativa 4:
I e III, apenas.
Alternativa 5:
I, II e III.
Questão 2
Uma função é contínua num intervalo , se, e somente se, f for contínua em todos os pontos do intervalo.
Em vista do texto acima, assinale a alternativa que apresenta corretamente a relação entre as asserções abaixo.
PORQUE
Alternativas
Alternativa 1:
As asserções I e II são verdadeiras e a asserção II é uma justificativa correta para a asserção I.
Alternativa 2:
As asserções I e II são verdadeiras, mas a asserção II não é uma justificativa correta para a asserção I.
Alternativa 3:
A asserção I é verdadeira e a asserção II é falsa.
Alternativa 4:
A asserção I é falsa e a asserção II é verdadeira.
Alternativa 5:
As asserções I e II são falsas.
Questão 3
Sobre as funções contínuas e deriváveis em um ponto, analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta.
I - A função f(x) = |x| é contínua e derivável em todos os pontos .
PORQUE
II - A função não é derivável em x = 0. Uma maneira de mostrar e verificar, através dos limites laterais da definição de derivada, que eles são diferentes, então não existe a derivada:
e
Alternativas
Alternativa 1:
As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II é uma justificativa da I.
Alternativa 2:
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
Alternativa 3:
A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
Alternativa 4:
A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
Alternativa 5:
As asserções I e II são proposições falsas.
Questão 4
Considere a seguinte sequência numérica
Analise as afirmações a seguir.
I - A sequência xn possui termo igual a .
II - A sequência xn é monótona decrescente.
III - A série , formada pelos termos da sequência dada, é divergente.
IV - A série , cujo termo geral é é convergente.
É correto o que se diz em.
Alternativas
Alternativa 1:
I e II, apenas.
Alternativa 2:
I e III, apenas.
Alternativa 3:
II e IV, apenas.
Alternativa 4:
I, II e IV, apenas.
Alternativa 5:
I, II, III e IV.
Questão 5
O conjunto dos números reais, explorando a sua representação geométrica, e as diversas propriedades referentes ao mesmo conjunto, extensões das propriedades dos números racionais, é admitido como axiomas.
Com base no texto acima, considere 4 e 7 elementos do conjunto dos números reais. Analise as afirmativas a seguir:
I - 4+7 = 7+4 II - 4⋅7 = 7⋅4
As afirmativas I e II estão relacionadas a:
Alternativas
Alternativa 1:
Propriedade Lógica
Alternativa 2:
Propriedade Comutativa
Alternativa 3:
Propriedade Associativa
Alternativa 4:
Propriedade Demonstrativa
Alternativa 5:
Propriedade de Soma e Produto
Questão 6
Sobre o limite de funções, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
Alternativas
Alternativa 1:
As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Alternativa 2:
As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
Alternativa 3:
A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
Alternativa 4:
A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
Alternativa 5:
As asserções I e II são falsas.
Questão 7
A integral de Riemann é fundamental na construção da teoria de integrais apresentada em Cálculo e Análise Matemática. As propriedades de integrais são necessárias para a aplicabilidade e exemplificação dos conceitos.
DESTCH et al. Análise Matemática. Maringá - PR.:Unicesumar, 2020 (adaptado).
Considerando funções integráveis, avalie as afirmações a seguir.
I -
II - Se a < 0 e b = 1, então
III - Se a = b e f(x) = 3, para todo , então .
IV - Se f(x) < 0 e g(x) > 0, para todo , então
É correto o que se afirma em:
Alternativas
Alternativa 1:
I, apenas.
Alternativa 2:
II e IV, apenas.
Alternativa 3:
III e IV, apenas.
Alternativa 4:
I, II e III, apenas.
Alternativa 5:
I, II, III e IV.
Questão 8
Se temos o conjunto X⊂R, então o conjunto formado pelos pontos aderentes de X é denotado por .
Elaborado pelo professor, 2024.
Considerando os conjuntos A=(1,4) e B=(4,7), avalie as afirmativas a seguir:
É correto o que se afirma em:
Alternativas
Alternativa 1:
I, apenas.
Alternativa 2:
III, apenas.
Alternativa 3:
I e II, apenas.
Alternativa 4:
I e III, apenas.
Alternativa 5:
I, II e III.
Questão 9
Leibniz foi um gênio universal. Sua obra toca praticamente todos os campos do conhecimento. Em paralelo a Newton, os dois contribuíram de forma significativa para o desenvolvimento dos conceitos que hoje temos presente no Cálculo Diferencial. Entretanto, o conceito de integral começou a ser construído muito antes das contribuições desses dois grandes matemáticos. As primeiras noções sobre o conceito de integral aparecem nos trabalhos de Arquimedes (287-212 a.C.) referentes a área de figuras planas.
Considere uma função integrável, e P partição de [a,b]. A respeito das propriedades de integação dessa função, avalie as afirmativas a seguir.
I - A função f é integrável em [a,c] e [c,b].
II - é integrável e
III - e
IV - Se é integrável e para todo , então, .
É correto o que se afirma em:
Alternativas
Alternativa 1:
I e IV, apenas.
Alternativa 2:
I e III, apenas.
Alternativa 3:
II e IV, apenas.
Alternativa 4:
I, II e IV, apenas.
Alternativa 5:
II, III e IV, apenas.
Questão 10
Considere a função contínua f(x)=x³-3x+1 definida no intervalo [0,1].
Fonte: Elaborado pelo professor, 2024.
Utilize o Teorema do Valor Intermediário, e avalie as afirmativas a seguir.
I. Existe um ponto c em (0,1) tal que f(c)=0.
II. O Teorema do Valor Intermediário garante que a função atinge o valor f(x)=1 em pelo menos um ponto do intervalo [0,1].
III. É possível determinar a existência de c tal que f(c)=0 apenas com base no TVI.
IV. Para algum valor L entre f(0) e f(1), a função f(x) atinge f(c)=L para pelo menos um c em [0,1].
.
.
, formada pelos termos da sequência dada, é divergente.
, cujo termo geral é
funções integráveis, avalie as afirmações a seguir.
, então 
.
, então 
.
integrável, 
e P partição de [a,b]. A respeito das propriedades de integação dessa função, avalie as afirmativas a seguir.
é integrável e 
e 
é integrável e 
para todo 
, então, 
.